{
  "schemaVersion": 2,
  "hash": "8ecac0084221712dabd343b020a045bbbfdc383ffe57b672b8e9aa32ccbc85cb",
  "purpose": "html-region",
  "page": "/en/lychreluv-fraktal/",
  "sourceLang": "CS",
  "targetLang": "EN-US",
  "glossaryRevision": "none",
  "deepl": {
    "tagHandling": "html",
    "tagHandlingVersion": "v2",
    "splitSentences": "nonewlines",
    "preserveFormatting": true
  },
  "selectorPolicyRevision": 2,
  "sourceFragment": " <div class=\"post-header\">  <h1 class=\"post-title\">Lychrelův fraktál</h1> <p class=\"post-meta\"> December 2019 </p> </div> <div class=\"post-body\"> <p><a href=\"https://cs.wikipedia.org/wiki/Palindromick%C3%A9_%C4%8D%C3%ADslo\">Palindromické číslo</a> je „symetrické“ číslo, jehož hodnota se nezmění, pokud jeho číslice napíšeme v opačném pořadí. Příkladem jsou tedy čísla 2, 55, 121, 1991, 12345678987654321.<br>\nPokud vezmeme libovolné přirozené číslo a přičteme k němu jeho zrcadlový obraz (stejné číslo napsané v opačném pořadí) a tuto operaci  budeme stále opakovat, získáme velmi často po konečném počtu opakování palindromické číslo.\nJedná se o velmi jednoduchý proces:</p>\n<ol>\n<li>Nechť <strong>x</strong> je libovolné přirozené číslo a <strong>y</strong> je jeho zrcadlový obraz</li>\n<li>Provede se operace <strong>x</strong>+<strong>y</strong></li>\n<li>Pokud součet netvoří palindrom, přejde se zpět k druhému kroku</li>\n</ol>\n<p>Například:<br>\n123 + 321 = 444<br>\nnebo<br>\n78 + 87 = 165, 165 + 561 = 726, 726 + 627 = 1353, 1353 + 3531 = 4884.</p>\n<p>Existují však čísla, u nichž se neví, zda se po konečném počtu opakování algoritmu lze k palindromickému číslu dostat. Takovým číslům říkáme kandidáti na <a href=\"https://cs.wikipedia.org/wiki/Lychrelov%C3%A9_%C4%8D%C3%ADslo\">Lychrelovo čísla</a>. Lychrelovo číslo (anglicky Lychrel number) je tedy přirozené číslo, které nemůže vytvořit palindromické číslo opakováním procesu sčítání původního čísla s jeho zrcadlovým obrazem. Některá čísla vytvoří palindrom po několika opakováních (iteracích) tohoto procesu, přesněji 80% přirozených čísel do 10 000 vytvoří palindrom po čtyřech nebo méně krocích a 90% vytvoří palindrom do sedmi kroků. Ale například číslo 89 vytvoří palindrom (8 813 200 023 188) až po 24 krocích. Nejmenším kandidátem na Lychrelovo číslo je tedy 196, dále pak následují 295, 394, 493, 592, 689, 691, 790, 879… Různá čísla mají tedy různý počet iterací, který je potřebný k vytvoření palindromu.\nPro vizualizaci počtu kroků potřebných k vytvoření palindromu z určitých čísel jsem vytvořil čtvercovou tabulku a do ní vepsal celá čísla v rozsahu 0-99. Tuto tabulku lze matematicky chápat jako 10x10 <a href=\"https://cs.wikipedia.org/wiki/Matice\">matici</a>. Podle toho, kolik kroků bylo potřeba k vytvoření palindromu z čísla v určitém políčku tabulky jsem políčko vybarvil dle přiřazených barev (viz spektrum vpravo vedle tabulky) a vytvořil tak výsledný obrazec.</p>\n<figure class=\"figure figure--half figure--center \"> <a href=\"/images/lychreluv-fraktal-obr-1.png\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"> <img src=\"/images/lychreluv-fraktal-obr-1.png\" alt=\"\"> </a>  </figure>\n<p>V tomto procesu jsem se rozhodl pokračovat, a proto jsem vytvořil navazující tabulky v číselném rozsahu 100-199, 200-299, 300-399…</p>\n<figure class=\"figure figure--half figure--center \"> <a href=\"/images/lychreluv-fraktal-obr-2.png\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"> <img src=\"/images/lychreluv-fraktal-obr-2.png\" alt=\"\"> </a>  </figure>\n<figure class=\"figure figure--half figure--center \"> <a href=\"/images/lychreluv-fraktal-obr-3.png\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"> <img src=\"/images/lychreluv-fraktal-obr-3.png\" alt=\"\"> </a>  </figure>\n<figure class=\"figure figure--half figure--center \"> <a href=\"/images/lychreluv-fraktal-obr-4.png\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"> <img src=\"/images/lychreluv-fraktal-obr-4.png\" alt=\"\"> </a>  </figure>\n<figure class=\"figure figure--half figure--center \"> <a href=\"/images/lychreluv-fraktal-obr-5.png\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"> <img src=\"/images/lychreluv-fraktal-obr-5.png\" alt=\"\"> </a>  </figure>\n<figure class=\"figure figure--half figure--center \"> <a href=\"/images/lychreluv-fraktal-obr-6.png\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"> <img src=\"/images/lychreluv-fraktal-obr-6.png\" alt=\"\"> </a>  </figure>\n<p>Těchto tabulek je možné generovat nekonečně mnoho. Pro náhled jsem prvních 300 tabulek chronologicky seřadil a udělal z nich animovaný GIF. Jak lze vidět, tabulky na sebe navazují podobně jako skutečná animace.</p>\n<figure class=\"figure figure--half figure--center \"> <a href=\"/images/lychreluv-fraktal-obr-7.gif\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"> <img src=\"/images/lychreluv-fraktal-obr-7.gif\" alt=\"\"> </a>  </figure>\n<p>Je velice důležité zmínit, že ještě nikdo matematicky nedokázal, že kandidáti na Lychrelovo čísla jsou skutečně Lychrelovo čísla. Jinými slovy - nikdo neví, zda např. z čísla 196 přeci jenom po mnoho krocích nevznikne palindrom. V roce 2012 se Jason Doucette, Wade VanLandingham a Romain Dolbeau pokusili z tohoto čísla vytvořit palindrom. Zkusili přes bilión kroků, ovšem palindrom nenalezli. To ovšem není důkaz pro to, že z tohoto čísla nelze vytvořit palindrom. Možná vznikne až po bilión prvním kroku. Jisté je jedno - pokud z tohoto čísla nelze vytvořit palindrom, tato metoda <a href=\"https://cs.wikipedia.org/wiki/%C5%98e%C5%A1en%C3%AD_hrubou_silou\">hrubé síly</a> nám nikdy nezodpoví tuto otázku.\nProtože pro generování těchto obrazců jsem vytvořil program v jazyce Python, z praktického hlediska jsem musel nastavit něco jako „brzdu“ (v mém programu je nastavena na 50 kroků), která stanoví maximální počet kroků. Proto je tedy číslo 50 maximální hodnota spektra vpravo od tabulek. Pokud by totiž taková brzda neexistovala, program by se zasekl při nekonečných pokusech o vytvoření palindromu z čísel, ze kterých ani nejspíš palindrom vytvořit nelze.\nDůležité je uvědomit si, že tyto palindromy jsou vázány na naší <a href=\"https://cs.wikipedia.org/wiki/Des%C3%ADtkov%C3%A1_soustava\">desítkovou soustavu</a>. Tak například číslo 255 v naší desítkové soustavě rozhodně palindrom není, ovšem v <a href=\"https://cs.wikipedia.org/wiki/%C5%A0estn%C3%A1ctkov%C3%A1_soustava\">hexadecimální soustavě</a> bychom toto číslo zapsali jako FF - a to už palindrom je! Těmto rozdílným <a href=\"https://cs.wikipedia.org/wiki/%C4%8C%C3%ADseln%C3%A1_soustava\">číselným soustavám</a> se také říká base. Desítkovou soustavu tak můžeme nazvat base 10, hexadecimální soustavu base 16, binární soustavu base 2 atd. Nabízí se tedy otázka: Jak by vypadaly tabulky v jiných base? Vzhledem k tomu, že naše originální tabulka pro base 10 měla rozměry 10x10 políček, tabulky pro vyšší base (řekněme base N) budou mít rozměry NxN políček. Jak lze vidět na animovaném GIFu pro tabulku 1 níže, čím větší je base, tím „ostřejší“ je obrazec.</p>\n<figure class=\"figure figure--half figure--center \"> <a href=\"/images/lychreluv-fraktal-obr-8.gif\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"> <img src=\"/images/lychreluv-fraktal-obr-8.gif\" alt=\"\"> </a>  </figure>\n<p>Až nyní se nám tato struktura ukázala v plné své kráse a jak lze vidět, struktura tabulky 1 je ve všech base stejná. A co jiné tabulky? Je struktura tabulky 2 také ve všech base stejná? Jak lze vidět na GIFu níže, odpověď je kladná.</p>\n<figure class=\"figure figure--half figure--center \"> <a href=\"/images/lychreluv-fraktal-obr-9.gif\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"> <img src=\"/images/lychreluv-fraktal-obr-9.gif\" alt=\"\"> </a>  </figure>\n<p>Na tabulce 2 lze nyní spatřit náznaky rekurze. Neměly bychom se tomu ani příliš divit - vždyť obrazec přece vznikl rekurzivním procesem. Dalo by se říci, že jsme právě vytvořili <a href=\"https://cs.wikipedia.org/wiki/Frakt%C3%A1l\">fraktál</a>, protože tabulka 2 splňuje všechny podmínky pro to, aby nějaký objekt byl nazván fraktálem:</p>\n<ol>\n<li>Je soběpodobný – znamená to, že pokud daný útvar pozorujeme v jakémkoliv měřítku či rozlišení, pozorujeme stále opakující se určitý charakteristický tvar (motiv);</li>\n<li>Mívá na první pohled velmi složitý tvar, ale je generován opakovaným použitím jednoduchých pravidel.\nNa prvním GIFu jsme již viděli prvních 300 tabulek. To nám odhalilo ovšem pouze špičku ledovce! Jak tedy třeba vypadá miliontá tabulka ve vyšších base? Nebo bilióntá tabulka? A jak bude vypadat, když budu tabulkami chrologicky listovat a vytvořím z nich animaci jako tomu bylo v prvním GIFu? Níže jsou obrázky takových „vyšších“ tabulek. Jak z nich lze  zpozorovat, čím vyšší je pořadí tabulky, tím více je Lychrelovo čísel tabulka obsahuje (a proto jsou obrazce bělejší).</li>\n</ol>\n<figure class=\"figure figure--half figure--center \"> <a href=\"/images/lychreluv-fraktal-obr-10.gif\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"> <img src=\"/images/lychreluv-fraktal-obr-10.gif\" alt=\"\"> </a>  </figure>\n<figure class=\"figure figure--half figure--center \"> <a href=\"/images/lychreluv-fraktal-obr-11.gif\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"> <img src=\"/images/lychreluv-fraktal-obr-11.gif\" alt=\"\"> </a>  </figure>\n<figure class=\"figure figure--half figure--center \"> <a href=\"/images/lychreluv-fraktal-obr-12.gif\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"> <img src=\"/images/lychreluv-fraktal-obr-12.gif\" alt=\"\"> </a>  </figure>\n<figure class=\"figure figure--half figure--center \"> <a href=\"/images/lychreluv-fraktal-obr-13.gif\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"> <img src=\"/images/lychreluv-fraktal-obr-13.gif\" alt=\"\"> </a>  </figure>\n<p>Tímto jsme odhalili tuto strukturu natolik, že nevím, jak dále pokrčovat. Ještě tu ovšem vidím jednu možnost experimentace. Na začátku tohoto článku jsou uvedeny jednotlivé kroky, které jsou slouží jako návod pro to, jak se dostat (nebo nedostat) k palindromu. Pro zajímavost si dovolím tyto kroky poupravit a definovat tak nový proces:</p>\n<ol>\n<li>Nechť <strong>x</strong> je libovolné přirozené číslo a <strong>y</strong> je jeho zrcadlový obraz</li>\n<li>Proveďe se operace (<strong>x</strong>+<strong>y</strong>) <a href=\"https://cs.wikipedia.org/wiki/Zbytek_po_d%C4%9Blen%C3%AD\">mod</a> <strong>x</strong></li>\n<li>Pokud výsledné číslo netvoří palindrom, přejde se zpět k druhému kroku</li>\n</ol>\n<p>Když vytvoříme díky těmto novým pravidlům tabulky, jakož jsme to učinili předtím a budeme jimi listovat, vytvoří se tato animace:</p>\n<figure class=\"figure figure--half figure--center \"> <a href=\"/images/lychreluv-fraktal-obr-14.gif\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"> <img src=\"/images/lychreluv-fraktal-obr-14.gif\" alt=\"\"> </a>  </figure>\n<figure class=\"figure figure--half figure--center \"> <a href=\"/images/lychreluv-fraktal-obr-15.gif\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"> <img src=\"/images/lychreluv-fraktal-obr-15.gif\" alt=\"\"> </a>  </figure>\n<p>Výsledek je to vskutku pozoruhodný. A jak je zřejmé, variací pravidel je nekonečně mnoho. Zde je tedy ještě několik příkladů takovýchto pozměněných pravidel a pod nimi se vždy nacházejí příslušné vizualizace:</p>\n<ol>\n<li>Nechť <strong>x</strong> je libovolné přirozené číslo a <strong>y</strong> je jeho zrcadlový obraz</li>\n<li>Provede se operace (<strong>x</strong>+<strong>y</strong>) mod <strong>x</strong>+<strong>x</strong></li>\n<li>Pokud výsledné číslo netvoří palindrom, přejde se zpět k druhému kroku</li>\n</ol>\n<figure class=\"figure figure--half figure--center \"> <a href=\"/images/lychreluv-fraktal-obr-16.gif\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"> <img src=\"/images/lychreluv-fraktal-obr-16.gif\" alt=\"\"> </a>  </figure>\n<figure class=\"figure figure--half figure--center \"> <a href=\"/images/lychreluv-fraktal-obr-17.gif\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"> <img src=\"/images/lychreluv-fraktal-obr-17.gif\" alt=\"\"> </a>  </figure>\n<ol>\n<li>Nechť <strong>x</strong> je libovolné přirozené číslo</li>\n<li>Provede se operace (2 *<strong>x</strong>) : 3</li>\n<li>Výsledek druhého kroku se zaokrouhlí nahoru</li>\n<li>Pokud výsledné číslo netvoří palindrom, přejde se zpět k druhému kroku</li>\n</ol>\n<figure class=\"figure figure--half figure--center \"> <a href=\"/images/lychreluv-fraktal-obr-18.gif\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"> <img src=\"/images/lychreluv-fraktal-obr-18.gif\" alt=\"\"> </a>  </figure>\n<figure class=\"figure figure--half figure--center \"> <a href=\"/images/lychreluv-fraktal-obr-19.gif\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"> <img src=\"/images/lychreluv-fraktal-obr-19.gif\" alt=\"\"> </a>  </figure>\n<p>Pokud by měl někdo zájem experimentovat s programem pro generování těchto obrazců, zde je zdrojový kód v jazyce Python, který jsem vytvořil:</p>\n<span data-i18n-protected=\"p0\" translate=\"no\" class=\"notranslate\"></span>\n<br>\n<p>A zde si můžete pohrát s interaktivní demonstrací:</p>\n<div class=\"embed embed--demo\"><span data-i18n-protected=\"p2\" translate=\"no\" class=\"notranslate\"></span></div> </div> ",
  "translatedFragment": " <div class=\"post-header\">  <h1 class=\"post-title\">Lychrel Fractal</h1> <p class=\"post-meta\"> December 2019 </p> </div> <div class=\"post-body\"> <p><a href=\"https://cs.wikipedia.org/wiki/Palindromick%C3%A9_%C4%8D%C3%ADslo\">A palindromic number</a>\nis a “symmetric” number whose value remains unchanged when its digits are written in reverse order. Examples include the numbers 2, 55, 121, 1991, and 12345678987654321.<br>\nIf we take any natural number and add its mirror image (the same number written in reverse order) to it, and repeat this operation over and over, we will very often obtain a palindromic number after a finite number of repetitions.\nThis is a very simple process:</p>\n<ol>\n<li>Let <strong>x</strong> be any natural number and <strong>y</strong> be its mirror image</li>\n<li>Perform the operation <strong>x</strong>+<strong>y</strong></li>\n<li>If the sum is not a palindrome, return to the second step</li>\n</ol>\n<p>\nFor example:<br>\n123 + 321 = 444<br>\nor<br>\n78 + 87 = 165, 165 + 561 = 726, 726 + 627 = 1353, 1353 + 3531 = 4884.</p>\n<p>However, there are numbers for which it is unknown whether a palindromic number can be obtained after a finite number of repetitions of the algorithm. We call such numbers candidates for <a href=\"https://cs.wikipedia.org/wiki/Lychrelov%C3%A9_%C4%8D%C3%ADslo\">Lychrel numbers</a>. A Lychrel number is therefore a natural number that cannot form a palindromic number by repeating the process of adding the original number to its mirror image. Some numbers form a palindrome after a few repetitions (iterations) of this process; more precisely, 80% of natural numbers up to 10,000 form a palindrome after four or fewer steps, and 90% form a palindrome within seven steps. But, for example, the number 89 forms a palindrome (8 813 200 023 188) only after 24 steps. The smallest candidate for a Lychrel number is therefore 196, followed by 295, 394, 493, 592, 689, 691, 790, 879… Different numbers thus require a different number of iterations to form a palindrome.\nTo visualize the number of steps needed to create a palindrome from certain numbers, I created a square table and entered integers ranging from 0 to 99 into it. This table can be mathematically understood as <a href=\"https://cs.wikipedia.org/wiki/Matice\">a</a> 10x10 <a href=\"https://cs.wikipedia.org/wiki/Matice\">matrix</a>. Depending on how many steps were needed to create a palindrome from a number in a specific cell of the table, I colored the cell according to the assigned colors (see the spectrum to the right of the table), thus creating the resulting pattern.</p>\n<figure class=\"figure figure--half figure--center \"> <a href=\"/images/lychreluv-fraktal-obr-1.png\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"> <img src=\"/images/lychreluv-fraktal-obr-1.png\" alt=\"\"> </a>  </figure>\n<p>I decided to continue this process, so I created subsequent tables in the number ranges 100–199, 200–299, 300–399…</p>\n<figure class=\"figure figure--half figure--center \"> <a href=\"/images/lychreluv-fraktal-obr-2.png\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"> <img src=\"/images/lychreluv-fraktal-obr-2.png\" alt=\"\"> </a>  </figure>\n<figure class=\"figure figure--half figure--center \"> <a href=\"/images/lychreluv-fraktal-obr-3.png\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"> <img src=\"/images/lychreluv-fraktal-obr-3.png\" alt=\"\"> </a>  </figure>\n<figure class=\"figure figure--half figure--center \"> <a href=\"/images/lychreluv-fraktal-obr-4.png\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"> <img src=\"/images/lychreluv-fraktal-obr-4.png\" alt=\"\"> </a>  </figure>\n<figure class=\"figure figure--half figure--center \"> <a href=\"/images/lychreluv-fraktal-obr-5.png\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"> <img src=\"/images/lychreluv-fraktal-obr-5.png\" alt=\"\"> </a>  </figure>\n<figure class=\"figure figure--half figure--center \"> <a href=\"/images/lychreluv-fraktal-obr-6.png\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"> <img src=\"/images/lychreluv-fraktal-obr-6.png\" alt=\"\"> </a>  </figure>\n<p>An infinite number of these tables can be generated. For a preview, I sorted the first 300 tables chronologically and turned them into an animated GIF. As can be seen, the tables follow one another much like a real animation.</p>\n<figure class=\"figure figure--half figure--center \"> <a href=\"/images/lychreluv-fraktal-obr-7.gif\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"> <img src=\"/images/lychreluv-fraktal-obr-7.gif\" alt=\"\"> </a>  </figure>\n<p>It is very important to note that no one has yet mathematically proven that candidates for Lychrel numbers are actually Lychrel numbers. In other words—no one knows whether, for example, the number 196 might eventually form a palindrome after many steps. In 2012, Jason Doucette, Wade VanLandingham, and Romain Dolbeau attempted to create a palindrome from this number. They tried over a trillion steps, but did not find a palindrome. However, this is not proof that a palindrome cannot be created from this number. Perhaps it will emerge only after the trillionth step. One thing is certain—if a palindrome cannot be created from this number, this <a href=\"https://cs.wikipedia.org/wiki/%C5%98e%C5%A1en%C3%AD_hrubou_silou\">brute-force</a> method will never answer this question.\nSince I wrote a program in Python to generate these patterns, for practical reasons I had to set up a sort of “brake” (set to 50 steps in my program) that limits the maximum number of steps. That is why the number 50 is the maximum value in the spectrum to the right of the tables. If such a limit did not exist, the program would get stuck in an endless loop of attempts to create a palindrome from numbers from which it is likely impossible to create one.\nIt is important to realize that these palindromes are tied to our <a href=\"https://cs.wikipedia.org/wiki/Des%C3%ADtkov%C3%A1_soustava\">decimal system</a>. For example, the number 255 is definitely not a palindrome in our decimal system, but in <a href=\"https://cs.wikipedia.org/wiki/%C5%A0estn%C3%A1ctkov%C3%A1_soustava\">the hexadecimal system</a> we would write this number as FF—and that is a palindrome! These different <a href=\"https://cs.wikipedia.org/wiki/%C4%8C%C3%ADseln%C3%A1_soustava\">number systems</a> are also called bases. We can thus call the decimal system base 10, the hexadecimal system base 16, the binary system base 2, and so on. This raises the question: What would the tables look like in other bases? Since our original table for base 10 had dimensions of 10x10 cells, tables for higher bases (say, base N) will have dimensions of NxN cells. As can be seen in the animated GIF for Table 1 below, the larger the base, the “sharper” the pattern.</p>\n<figure class=\"figure figure--half figure--center \"> <a href=\"/images/lychreluv-fraktal-obr-8.gif\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"> <img src=\"/images/lychreluv-fraktal-obr-8.gif\" alt=\"\"> </a>  </figure>\n<p>Only now has this structure revealed itself in all its glory, and as we can see, the structure of Table 1 is the same in all bases. But what about other tables? Is the structure of Table 2 also the same in all bases? As can be seen in the GIF below, the answer is yes.</p>\n<figure class=\"figure figure--half figure--center \"> <a href=\"/images/lychreluv-fraktal-obr-9.gif\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"> <img src=\"/images/lychreluv-fraktal-obr-9.gif\" alt=\"\"> </a>  </figure>\n<p>In Table 2, we can now see signs of recursion. We shouldn’t be too surprised by this—after all, the pattern was created through a recursive process. One could say that we have just created <a href=\"https://cs.wikipedia.org/wiki/Frakt%C3%A1l\">a fractal</a>, because Table 2 meets all the conditions for an object to be called a fractal:</p>\n<ol>\n<li>It is self-similar—meaning that if we observe the shape at any scale or resolution, we see a certain characteristic shape (motif) repeating itself;</li>\n<li>At first glance, it usually has a very complex shape, but it is generated by the repeated application of simple rules.\nIn the first GIF, we already saw the first 300 tables. But that revealed only the tip of the iceberg! So what does the millionth table look like at higher bases? Or the trillionth table? And what will it look like if I scroll through the tables chronologically and create an animation from them, as was done in the first GIF? Below are images of such “higher” tables. As can be seen from them, the higher the table’s order, the more Lychrel numbers the table contains (and therefore the shapes are whiter).</li>\n</ol>\n<figure class=\"figure figure--half figure--center \"> <a href=\"/images/lychreluv-fraktal-obr-10.gif\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"> <img src=\"/images/lychreluv-fraktal-obr-10.gif\" alt=\"\"> </a>  </figure>\n<figure class=\"figure figure--half figure--center \"> <a href=\"/images/lychreluv-fraktal-obr-11.gif\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"> <img src=\"/images/lychreluv-fraktal-obr-11.gif\" alt=\"\"> </a>  </figure>\n<figure class=\"figure figure--half figure--center \"> <a href=\"/images/lychreluv-fraktal-obr-12.gif\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"> <img src=\"/images/lychreluv-fraktal-obr-12.gif\" alt=\"\"> </a>  </figure>\n<figure class=\"figure figure--half figure--center \"> <a href=\"/images/lychreluv-fraktal-obr-13.gif\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"> <img src=\"/images/lychreluv-fraktal-obr-13.gif\" alt=\"\"> </a>  </figure>\n<p>With this, we have uncovered this structure to such an extent that I don’t know how to proceed further. However, I still see one possibility for experimentation here. At the beginning of this article, individual steps are listed that serve as a guide for how to arrive at (or fail to arrive at) a palindrome. For the sake of interest, I will modify these steps and define a new process:</p>\n<ol>\n<li>Let <strong>x</strong> be any natural number and <strong>y</strong> be its mirror image</li>\n<li>Perform the operation (<strong>x</strong>+<strong>y</strong>) <a href=\"https://cs.wikipedia.org/wiki/Zbytek_po_d%C4%9Blen%C3%AD\">mod</a> <strong>x</strong></li>\n<li>If the resulting number is not a palindrome, go back to the second step</li>\n</ol>\n<p>When we create tables using these new rules, as we did before, and scroll through them, this animation is created:</p>\n<figure class=\"figure figure--half figure--center \"> <a href=\"/images/lychreluv-fraktal-obr-14.gif\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"> <img src=\"/images/lychreluv-fraktal-obr-14.gif\" alt=\"\"> </a>  </figure>\n<figure class=\"figure figure--half figure--center \"> <a href=\"/images/lychreluv-fraktal-obr-15.gif\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"> <img src=\"/images/lychreluv-fraktal-obr-15.gif\" alt=\"\"> </a>  </figure>\n<p>The result is truly remarkable. And as is evident, there are infinitely many variations of the rules. Here are a few more examples of such modified rules, each accompanied by the corresponding visualizations:</p>\n<ol>\n<li>Let <strong>x</strong> be any natural number and <strong>y</strong> its mirror image</li>\n<li>Perform the operation (<strong>x</strong>+<strong>y</strong>) mod <strong>x</strong>+<strong>x</strong></li>\n<li>If the resulting number is not a palindrome, go back to the second step</li>\n</ol>\n<figure class=\"figure figure--half figure--center \"> <a href=\"/images/lychreluv-fraktal-obr-16.gif\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"> <img src=\"/images/lychreluv-fraktal-obr-16.gif\" alt=\"\"> </a>  </figure>\n<figure class=\"figure figure--half figure--center \"> <a href=\"/images/lychreluv-fraktal-obr-17.gif\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"> <img src=\"/images/lychreluv-fraktal-obr-17.gif\" alt=\"\"> </a>  </figure>\n<ol>\n<li>Let <strong>x</strong> be any natural number</li>\n<li>Perform the operation (2 * <strong>x</strong>) ÷ 3</li>\n<li>Round the result of the second step up</li>\n<li>If the resulting number is not a palindrome, go back to step 2</li>\n</ol>\n<figure class=\"figure figure--half figure--center \"> <a href=\"/images/lychreluv-fraktal-obr-18.gif\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"> <img src=\"/images/lychreluv-fraktal-obr-18.gif\" alt=\"\"> </a>  </figure>\n<figure class=\"figure figure--half figure--center \"> <a href=\"/images/lychreluv-fraktal-obr-19.gif\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"> <img src=\"/images/lychreluv-fraktal-obr-19.gif\" alt=\"\"> </a>  </figure>\n<p>If anyone is interested in experimenting with a program to generate these patterns, here is the source code in Python that I created:</p>\n<span data-i18n-protected=\"p0\" translate=\"no\" class=\"notranslate\"></span>\n<br>\n<p>And here you can play around with an interactive demo:</p>\n<div class=\"embed embed--demo\"><span data-i18n-protected=\"p2\" translate=\"no\" class=\"notranslate\"></span></div> </div> ",
  "createdAt": "2026-05-07T18:32:32.197Z"
}
